Презентация к уроку геометрии "теорема пифагора". Презентация к уроку геометрии "теорема пифагора" Советы как сделать хороший доклад презентации или проекта

«Геометрия владеет

двумя сокровищами:

одно из них – это

теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

Историческая справка

Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры.

С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).

Венчала геометрию теорема Пифагора , которой посвящён сегодняшний урок.

Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Опорное повторение по готовым чертежам

Какой треугольник изображён?

(Определите его вид)

Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.
Как найти площадь

Δ АВС?

На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE?
Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE?
С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE?
Запишите формулой площадь многоугольника ABCDE.

Практическая работа

2 ; b 2 ; c 2 . Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?
Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами).
Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.
Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 .
Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы.
У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

Современная формулировка

теоремы Пифагора

«В прямоугольном

треугольнике квадрат

гипотенузы равен

сумме квадратов катетов ».

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямо-угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах ».

Теорема Пифагора

5 = 4 + 3

25=16+9

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Дано:

Найти: ВС

6 см

8 см

Дано:

Найти: ВС

5 см

7 см

13 см

Дано:

Найти:

12 см

« Пифагоровы штаны во все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать», -так поется в одной шутливой песенке. Эти « штаны » показаны на рисунке, где на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала»и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора.

В англоязычных странах ее называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты .

Шаржи к теореме Пифагора (из учебников XVI века)

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

а 2 +b 2 =c 2 .

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 )- называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c .

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:

Один из «катетов» должен быть кратным трём.
Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Эти тройки можно найти по формулам: b=(a 2 -1)/2, c=(a 2 +1)/2.

Найдите неизвестные стороны треугольников.

из 9

Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.

Посмотри!

Построение отрезка, длина которого есть иррациональное число. Улитка Архимеда.

«Смотри чертёж».

Догадайтесь сами, как построены отрезки с такими длинами.

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом:

d 2 =2a², d= a.

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² .

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

1.ширине окна (b) для наружных дуг

2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.

В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r= b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 - p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4 + p) ² = (b/4) ² + (b/2 - p) ²

или b ² /16 + bp/2 + p ² = b ² /16 +b ² /4 - bp + p ² ,

bp/2 = b ² /4 - bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p = b/4, p = b/6

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др.

Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

НАЗАД

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

О теореме Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

A. Шамиссо

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“ Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB 2 – AC 2 = BC 2 ,

(Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 ,

Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .

CD = CB + BD,

CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача Бхаскары

Решение

Итак, в треугольнике АDВ: АВ 2 =ВD 2 +АD 2

АВ 2 =30 2 +Х 2

АВ 2 =900+Х 2 ;

в треугольнике АЕС: АС 2 = СЕ 2 +АЕ 2

АС 2 =20 2 +(50 – Х) 2

АС 2 =400+2500 – 100Х+Х 2

АС 2 =2900 – 100Х+Х 2 .

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ 2 =АС 2 ,

900+Х 2 =2900 – 100Х+Х 2 ,

100Х=2000,

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

1 Пифагор родился на острове:

в)Мадагаскар

а).Родос б)Крит в)Мадагаскар г)Самос

3. Выберите верное равенство для данного треугольника:

а)a 2 + c 2 = b 2

б)a 2 + b 2 = c

в)b 2 + c 2 = a 2

г)a 2 + b 2 = c 2

2. Теорема Пифагора гласит:

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов.

б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов. б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Выберите тройку пифагоровых чисел:

а)2, 3 и 5 б)4, 5 и 8 в)5, 12 и 13 г)9, 11 и 14

Статуя формой своей хороша, А человека украсят дела.

Шуткой беседу укрась, освети. Шутка, что соль. Лишь не пересоли…

Лучше молчи, ну, а коль говоришь, Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.

Если ты в гневе, не смей говорить! Действовать резко и злобу сорить.

Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреет Под языком твоим. Созревшая - все смеет.

Память.

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Должность и место работы : учитель математики МКОУ СОШ №1 г. Сортавала Республики Карелия.

Пояснительная записка .

Урок посвящен одной из важнейших теорем планиметрии - теореме Пифагора. Данный урок – это урока открытия новых знаний. На уроке представлена проблемно-поисковая ситуация; рассматривается доказательство теоремы Пифагора и применение ее к решению возникшей проблемы. Учащиеся самостоятельно доказывают теорему. Урок способствует развитию познавательного интереса, навыков самостоятельного пополнения знаний. Усиление практической направленности обучения способствует прочному, неформальному усвоению материала. Урок сопровождается презентацией с исторической справкой и рядом тестовых заданий.

Урок геометрии в 8 классе.

Тема: Теорема Пифагора

Цель урока : Выработать компетенцию по применению теоремы

Пифагора при решении геометрических и практических задач.

Задачи:

1). В процессе учебной деятельности учащихся вывести формулировку и доказательство теоремы Пифагора.

2). Выработать умение учащихся составлять математическую модель реальной ситуации с использованием теоремы Пифагора.

3). Познакомить учащихся с выдающимся математиком, философом и пророком Пифагором.

Ход урока.

1 . Самоопределение к деятельности:

Учитель : Ребята, сегодня мне хотелось бы начать урок с задачи.

«Пожарные увидели на крыше горящего дома маленького котенка. Котенок жалобно пищал и звал на помощь. Но вот беда: пожарная машина не может приблизится к дому ближе, чем на 6м, высота дома – 8м. Свою лестницу пожарники могут растянуть не более, чем на 11м. Достаточно ли этого, чтобы помочь бедному котенку?»

Как правило, мнения разные: одни считают, что «да», другие – «нет»

Учитель : сформулируем задачу в общем виде:

Известны катеты прямоугольного треугольника.

Найти длину его гипотенузы

Пока мы не можем решить эту задачу, но к концу урока, применив все свои знания и способности, я надеюсь, что мы сможем помочь нашему маленькому котенку.

2. Актуализация знаний учащихся:

Вопросы классу : - Какие свойства площадей вам известны?

Площади каких фигур мы можем вычислить?

Решить задачи (устно) с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

а) Известно, что α = 3β

Найти: β

б) Известно, что α + γ = β

Найти: β

в) По данному рисунку докажите, что

К MN Р - квадрат

Вопрос классу :

Какие еще задачи мы можем решить, используя данный чертеж?

(Для удобства ребят можно ввести обозначения: AK = a , AP = b , KP = c )

Наводящие вопросы :

Какие фигуры вы видите на чертеже?

Что вы можете сказать о площадях этих фигур?

Какое свойство площадей здесь можно использовать?

(Путем диалога, арифметических преобразований подвести ребят к

записи: a 2 + b 2 = c 2 ) .

Вопросы классу:

Чем являются в нашей ситуации переменные a , b , c ?

Сформулируйте фразу, закодированную в записи a 2 + b 2 = c 2 , которая связывает площади наших фигур?

Учитель : Ребята, вы не представляете, что сейчас произошло! Вы сделали величайшее открытие!!! Вы «открыли» теорему Пифагора! Итак, тема нашего урока: «Теорема Пифагора». (Предложить учащимся записать в тетрадях тему урока и ее формулировку).

2 . Изучение нового материала: с помощью компьютера рассмотреть только первые два раздела презентации («Теорема Пифагора» и «Проверь себя»).

Учитель : Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, и можно сказать, самая главная. Значение ее состоит в том, что из нее или с помощью ее можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна! Например, свойства равнобедренного треугольника можно непосредственно видеть на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c 2 = a 2 + b 2

Зато это соотношение между площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках.

В Древней Индии существовал способ «доказательства теоремы без слов». Слушателям представляли чертеж и писали одно слово «смотри».

Выслушав предположения ребят, сделать вывод: Мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной a + b .

Если из площадей одинаковых квадратов убрать площади одинаковых прямоугольных треугольников, то остаются равные площади: c 2 = a 2 + b 2 .

В этом состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

3. Закрепление изученного материала:

Учитель: Ребята, наш котенок по-прежнему ждет вашей помощи. Давайте вернемся к нашей задаче.

Дано : ∆ АВС, ے В = 90 0

Найти : АС

Решение : Δ АВС – прямоугольный

По теореме Пифагора АС 2 =АВ 2 +ВС 2 ═>

АС 2 = 6 2 +8 2 – это математическая модель

данной ситуации.

АС 2 = 100, АС = 10

Ответ: 10 м до крыши, т.е. лестницы

вполне достаточно.

Задача №2 : Египтяне придумали задачу о лотосе: «На глубине 12 футов растет лотос с 13 футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Дано: ∆ АВС, ے С = 90 0 , АВ = 13м, АС=12м

Найти: ВС

Решение : ∆ АВС – прямоугольный, т.е. по

теореме Пифагора имеем: АВ 2 =АС 2 +ВС 2

а значит ВС 2 = АВ 2 - АС 2

ВС 2 = 13 2 - 12 2 , ВС 2 = 25 ═> ВС = 5

Ответ : 5 футов.

Задача №3 : Дерево в 8м высотой переломлено бурей так, что если верхнюю часть пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 4м от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение : И вновь при составлении математической

модели мы используем теорему Пифагора:

(8 - х) 2 = х 2 + 4 2

64 – 16х + х 2 = х 2 + 16

16х = 48 х = 3

Ответ : 3м

4. Самостоятельное решение задачи :

I уровень – Коробка конфет имеет форму равнобедренного треугольника, боковая сторона которой равна 25см, а основание – 14см. Какова высота этой коробки? (Ответ: 24см)

II уровень – Цветочная клумба имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями10 и 18 см, и с боковой стороной равной 5см. Найти площадь клумбы. (Ответ: 42см 2 )

Учитель : - Возможно ли было решение задач данного типа без знания

теоремы Пифагора?

В чем суть теоремы Пифагора?

О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

5. Историческая справка:

Закончить просмотр презентации «Теорема Пифагора».

6. Подведение итогов урока:

Учитель: Сегодня мы с вами познакомились с теоремой Пифагора. Вы согласны с тем, что это одна из важнейших теорем геометрии? Почему? Теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников. Так ли уж часто мы имеем с ними дело?

Объявить оценки.

Домашнее задание: I группа - №484б, 486 II группа - №488 а,б

Слайд 1

8 класс Монахова Е. Ю. –учитель математики СОШ №1 г. Сортавала, Карелия

Слайд 2

Слайд 3

Биография Пифагора С берегов Средиземноморьяколыбели европейской цивилизации, с тех давних времен, названных «весною человечества», дошло до нас имя Пифагор- не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось

Слайд 4

Биография Пифагора Известно, что родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море, в 576 г. до н. э. По совету Фалеса 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Страницы из жизни Пифагора.

Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ, пророк. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось.

Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море у берегов малой Азии около 570 г. до н. э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости».

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Урок по теме: «Теорема Пифагора»

Историческая справка Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры. Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу.

С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев). Венчала геометрию теорема Пифагора, которой посвящён сегодняшний урок. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Опорное повторение по готовым чертежам Какой треугольник изображён? (Определите его вид) Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника. Как найти площадь Δ АВС? В А С

На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE ? Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE ? С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE ? Запишите формулой площадь многоугольника ABCDE . В С D A E F

Практическая работа Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами). Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях. Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 . Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2) и сравните с квадратом гипотенузы. У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2 a c b

Стихотворение о теореме Пифагора Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом. То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём. (И. Дырченко)

Составьте по готовым чертежам, если это возможно, верное равенство. 3 4 х х 5 5 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ

1. Найти: ВС С В А Дано: 8 см 6 см?

2. Дано: С В Найти: ВС А 5 см 7 см?

3 . Дано: Найти: А B C D ? 12 см 13 см

Подведение итогов Возможно ли было решение задач данного типа без применения теоремы Пифагора? В чём суть теоремы Пифагора? Для любых ли треугольников можно применить данную теорему?

4. В Древнем Египте был известен треугольник со сторонами 3, 4, 5; его использовали при разметке прямоугольных земельных участков после ежегодного уничтожения их границ разлившимся Нилом. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. 5. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых a , b , c удовлетворяли бы условию a 2 + b 2 = c 2 , Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n 2 + 2n + 1, n Є Z. 6. Треугольник с такими сторонами является прямоугольным: n = 1: а = 3, b = 4, с = 5 (приведите примеры самостоятельно). 7. Где применяется, по вашему, сейчас теорема Пифагора?

Домашнее задание П. 54. № 483 (б,в); № 484 (а,б,в)

Предварительный просмотр:

8 класс. Геометрия.

Урок по теме: «Теорема Пифагора».

Цель урока: Познакомить учащихся:

с жизнью и творчеством Пифагора;
с теоремой Пифагора.

Научить учащихся:

применять теорему Пифагора при решении задач.

Ход урока:

1.Организационный момент. 2. Страницы из жизни Пифагора 3. Опорное повторение по готовым чертежам 4. Практическая работа 5.Теорема Пифагора

6.Устная работа 7. Прикладное значение теоремы Пифагора. 8.Решение задач по готовым чертежам

9.Подведение итогов 10.Домашнее задание

1. Организационный момент. (1 кадр)

Настрой учащихся на работу. Сообщение темы урока и цели урока.

2. Страницы из жизни Пифагора. (2 и 3 кадры. Рассказ ученицы)

Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ, пророк. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось. Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море у берегов малой Азии около 570 г. до н. э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости». В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех. Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышления, – когда идешь ко сну и когда пробуждаешься ото сна. День пифагорейцу надлежало закончить стихами: «Не допускай ленивого сна на усталые очи, прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: «Что я сделал? Что не сделал? И что мне осталось сделать?», и начинать день со стихов: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, душой раскинь, какие дела тебе день приготовил». Пифагор древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры.

Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу. С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев). Венчала геометрию теорема Пифагора, которой посвящён сегодняшний урок. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

3.Опорное повторение по готовым чертежам (кадр 4 и5)

Какой треугольник изображён? (Определите его вид)

Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.
Как найти площадь Δ АВС?
На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE?
Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE?
С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE?
Запишите формулой площадь многоугольника ABCD.

4. Практическая работа (кадр 6)

1.Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами).

2.Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.

3.Возведите все результаты в квадрат, т. е. узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 .

4.Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы.

5.У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

5.Теорема Пифагора: (кадр 7) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c 2 = a 2 + b 2

Стихотворение о теореме Пифагора (кадр 8)

Если дан нам треугольник, Катеты в квадрат возводим,

И притом с прямым углом. Сумму степеней находим –

То квадрат гипотенузы И таким простым путём

Мы всегда легко найдём: К результату мы придём.

(И. Дырченко)

6.Устная работа (9 кадр)

Составьте по готовым чертежам, если это возможно, верное равенство.

7. Прикладное значение теоремы Пифагора. (кадр 10-12, устное описание задачи)
Задача индийского математика XII века Бхаскары – Ачария.

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

АВ = АС + СВ – по свойству длин отрезков.

АВ = АС + CD, т. к. СВ = CD по условию.

CD 2 = AC 2 + AD 2 - по теореме Пифагора.

CD 2 = 3 2 + 4 2 ; CD = 5

АВ = 3 + 5 = 8 футов.

Ответ: высота дерева 8 футов

8.Решение задач по готовым чертежам (кадр 13-16, с записью решения в тетрадях)

9.Подведение итогов (кадр 17-18)

Возможно ли было решение задач данного типа без применения теоремы Пифагора?
В чём суть теоремы Пифагора?
Для любых ли треугольников можно применить данную теорему?
В Древнем Египте был известен треугольник со сторонами 3, 4, 5; его использовали при разметке прямоугольных земельных участков после ежегодного уничтожения их границ разлившимся Нилом. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. (практическая работа).
Занимаясь поисками треугольников, стороны которых a, b, c удовлетворяли бы условию a 2 + b 2 = c 2 , Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть записаны так:

A = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n 2 + 2n + 1, n Є Z.