Метод пикара решения дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).
Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).
Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .
Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:
При n= 0,1,2,...,
а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .
Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение
эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.
Вопрос: Почему это действительно так?
Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.
В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.
Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.
Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.
Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.
Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.
Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .
В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:
· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,
· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,
· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),
хотя такое деление и несколько условно.
Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и
метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,
на котором мы сейчас остановимся.
Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:
В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)
Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим
Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).
Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.
Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.
Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.
Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.
Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .
Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.
Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].
Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.
Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим
Данный метод является представителем класса приближенных методов
Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последова-
тельных приближений для решения интегрального уравнения, к которому
приводится исходное дифференциальное уравнение.
Пусть поставлена задача Коши
,
Проинтегрируем выписанное уравнение
.
(5.2)
Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме
,
(5.3)
Пример . Решить методом Пикара уравнение
,
Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.
,
Видно, что при ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.
Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной
области правая частьнепрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменнойт.е.
где - некоторая константа.
В силу ограниченности области имеют место неравенства
Вычтем из (5.3) формулу (5.2), получим для модулей правой и левой
,
.
Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим
,
(5.4)
где - погрешность приближенного решения.
Последовательное применение формулы (5.4) при дает следующую цепочку соотношений при учете того, что
,
,
.
Т.к. , то имеем
.
Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения
.
(5.5)
Из (5.4) следует, что при модуль погрешности, т.е.
приближенное решение равномерно сходится к точному.
5.2.2. Методы Рунге-Кутта
Данные методы являются численными.
На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие пост-
роение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее
употребительны схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и
рассмотрим ниже.
Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на
отрезке называется фиксированное множество точек этого отрезка.
Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией.
Координаты точек удовлетворяют условиям
Точки являются узлами сетки. Равномерной сеткой наназывается множество точек
,
,
где - шаг сетки.
При решении
дифференциальных уравнений приближенным
методом основным является вопрос о
сходимости. Применительно к разностным
методам традиционно более употребительно
понятие сходимости при
.
Обозначим значения сеточной функциизначения точного решения дифференциального
уравнения (5.1) в узле-(являются приближенными значениями).
Сходимость приозначает следующее. Фиксируем точкуи строим совокупность сетоктаким образом, чтои
(при этом).
Тогда считают, что численный метод
сходится в точке,
если
при
,. Метод сходится на отрезке, если он сходится в каждой точке. Говорят, что метод имеет-й
порядок точности, если можно найти такое
число,
что
при.
Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимции разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (5.1)в разностное уравнение. Например, (5.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением
,
.
Тогда невязка определится следующим выражением
.
Приближенное
решение не совпадает вообще говоря с
,
поэтому невязкав-ой
точке не равна нулю. Вводят следующее
определение: численный метод аппроксимирует
исходное дифференциальное уравнение,
еслипри,
и имеет-й
порядок точности, если
.
Доказывается, что порядок точности численного метода решения дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при достаточно общих предположениях.
Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к
схемам второго порядка точности.
Используя формулу Тейлора, решение дифференциального уравнения
(5.1) можно представить в виде
, (5.6)
где обозначено
,
,
.
Отметим, что
согласно (5.1)
,.
производную следующим образом
,
где - пока неизвестные величины. Пусть
Обозначим приближенное значение решения в узле с номером через(именно это решение будет получаться после того, как мы ограничим ряд членами с порядком не выше второго).
Введенные здесь параметры иподлежат определению.
Разлагая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены, получим
последовательно
Условием выбора параметров ипоставим близость выраже-
ния (5.7) ряду (5.6), тогда
,
,
.
Один параметр остается свободным. Пусть это будет , тогда
,
,
и окончательно из (5.7) с учетом найденных отношений для и
Соотношение (5.8) описывает однопараметрическое семейство двучленных формул Рунге-Кутта.
В специальной
литературе доказывается, что если
непрерывна и ограничена вместе со своими
вторыми производными, то приближенное
решение схемы (5.8) равномерно сходится
к точному решению с погрешностью
, т.е. схема (5.8) обладает вторым порядком
точности.
В практике расчетов используют формулы (5.8) при значениях параметра ,.
Из (5.8) выводим
Применение формулы (5.9) сводится к следующей последовательности шагов:
1. Вычисляется грубо значение функции (по схеме ломаных)
2. Определяется наклон интегральной кривой в точке ()
3. Находится среднее значение производной функции на шаге
4. Рассчитывается значение функции в ()-м узле
Данная схема имеет специальное название "предиктор - корректор".
Согласно (5.8) получаем
Задача решается посредством следующих шагов:
1. Вычисляется значение функции в половинном узле
.
2.Определяется значение производной в узле
.
3. Находится значение функции в ()-м узле
Помимо рассмотренных выше двучленных схем широкое распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Ниже даются без вывода соответствующие формулы
(5.10)
Схемы с большим числом членов практически не применяются. Пяти-
членные формулы обеспечивают четвертый порядок точности, шестичленные формулы имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.
Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются максималь-
ными значениями соответствующих производных.
Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой
части дифференциального уравнения
.
В этом случае решение уравнения может быть сведено к квадратуре и
все схемы разностного решения переходят в формулы численного интегри-
рования. Например, схема (5.9) принимает вид
,
то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (5.10) переходит в схему
представляющую собой формулу Симпсона с шагом .
Мажорантные оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны (см. раздел 3.2). Из (3.4) и (3.5) видно, что точность схем Рунге-Кутта достаточно высока.
Выбор той или иной из приведенных схем для решения конкретной за-
дачи определяется следующими соображениями. Если функция в
правой части уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и
ограничены ее четвертые производные, то наилучший результат достигает-
ся при использовании схемы (5.10). В том случае, когда функция
не имеет названных выше производных, предельный (четвертый) порядок
схемы (5.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается
применение более простых схем.
Помимо схем Рунге-Кутта практический интерес представляют многошаговые методы, которые можно описать следующей системой уравнений
где
,
а-
числовые коэффициенты,
,.
Согласно данному уравнению расчет начинается с . В этом случае получается соотношение вида
т.е. для начала счета надо иметь начальных значений,. Эти значенияприходится вычислять каким-либо другим методом, например, методом Рунге-Кутта.
Среди многошаговых
методов наиболее распространен метод
Адамса, схема реализации которого
следует из (5.11) при
идля
:
.
При метод Адамса оказывается явным, а при- неявным.
Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка
Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра
Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара
(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.
Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица
Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим
Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно
Отсюда следует оценка погрешности
Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .
Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции
В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем
и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,
Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.
Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.
Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.
Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у " = f (x , y ) на отрезке [ a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.
Метод Пикара
Пример 5.1.
: у h = 0,1 методом Пикара с шагом h .
В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.
Решение.
1. Вводим данные (рис. 5.1)
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3 i = 0..n
Рис.5.1. Задание исходных данных
2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).
f
derive(y
) = 
Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции
3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом
Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –
Производная функции по у ; a ,b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –
начальное значение переменной у .
4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).
fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=
Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ
методом Пикара (файл fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =
| 7,78457519486·10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара
Метод Эйлера и его модификации
Пример 5.2.
у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.
Решение.
Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.
а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05
Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением
уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической
визуализацией метода Эйлера.
1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.
Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера
2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера
Примечание
Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.
Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом
Эйлера с шагами h и h /2
5.3. Метод Рунге – Кутты
На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.
Пример 5.3.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h .
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).
a
= 1,7 b
= 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3
i = 0..n
Рис.5.9. Задание исходных данных
2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a , b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.
3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное
решение ДУ методом Рунге–Кутты
Метод Адамса
Пример 5.4.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h .
В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты
2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a , b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.
Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение
ДУ методом Адамса
3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.
Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами
Вопросы по теме
1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?
2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.
3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от
формы представления решения?
4. В чем заключается суть принципа сжимающих
отображений?
5. Рекуррентная формула метода Пикара.
6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?
7. Применение, каких формул позволяет получить значения
искомой функции по методу Эйлера?
8. Графическая интерпретация метода Эйлера и
усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?
9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?
10. Как определить количество верных цифр в числе,
являющемся решением ДУ методом Эйлера,
усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–
Задание к лабораторной работе № 5
Задание 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном НУ у (а ) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):
1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;
2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h ;
3) методом Адамса;
4) методом Пикара.
Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.
Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы
| № | f(x , y ) | [a , b ] | y 0 | h |
| 3х 2 + 0,1ху | у (0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(x 2 + cos(0,7x )) + 1,843y | у (0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| у (1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | у (0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| у (1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | у (1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | у (2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | у (2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5y 2 | у (0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | у (1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | у (2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| e 2x + 0,25y 2 | у (0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | у (-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133·(x 2 + sin(2x )) + 0,872y | у (0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| sin(x + y ) +1,5 | у (1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | у (0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5x + cos(y + 0,6) | у (1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1,5y +x ) 2 + 1,4 | у (1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | у (1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| cos y + 3x | у (0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1,5x – y 2) – 1,3 | [-1; 1] | у (-1) = 0,2 | 0,2 | |
| у (1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| e -(y – 1) + 2x | у (0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2y sin x – y 2 | у (1) = 0 | 0,1 | ||
 | у (0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(x 2 + sin(1,1x )) + 0,883y | у (0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| у (1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| у (1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| у (0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| у (1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8y sin x - 2y 2 | у (0) = 0 | 0,1 | ||
 | у (0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| у (1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2 | у (0) = 0 | 0,1 | ||
| у (0) = 0 | 0,1 | |||
 | у (0) = 0 | 0,1 | ||
 | у (0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2x 2 + y 2 | у (0) = 0,8 | 0,1 | ||
| x 2 + y | у (0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1y 2 | у (0) = 0,5 | 0,1 |
Литература
Основная литература :
Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в
пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.
Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.
Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.
Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.
дополнительная литература :
Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.
ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976
Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983
Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976
Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981
Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982
Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979
Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.
Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с
программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины
http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»
Введение
1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
1.2. Погрешность округленного числа
1.3. Погрешности арифметических действий
1.4. Погрешности элементарных функций
1.5. Способ границ
1.6. Обратная задача теории погрешностей
1.7. Вопросы по теме
1.8. Задания к лабораторной работе №1
2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения
скалярных уравнений
1.1. Метод хорд
1.2. Метод касательных
1.3. Метод простой итерации
1.4. Вопросы по теме
1.5. Задания к лабораторной работе №2
3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем
нелинейных уравнений
3.1. Метод Ньютона
3.2. Вопросы по теме
3.3. Задание к лабораторной работе №3
4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование
4.1. Метод прямоугольников
4.2. Метод Симпсона
4.3. Метод трапеций
4 .4. Метод Монте – Карло
4.5. Вопросы по теме
4.6. Задание к лабораторной работе №4
5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1. Метод Пикара
5.2. Метод Эйлера и его модификации
5.3. Метод Рунге – Кутты
