Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Проходящая через неподвижные точки А иВ прямая называетсяосью вращения. Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена осьAz , полуплоскостьІ – неподвижную и полуплоскостьІІ врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком угломφ между этими плоскостями, который назовемуглом поворота тела. Будем считать уголφ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца осиAz ), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять уголφ будем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость углаφ от времениt , т.е.

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорениеε.

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени
тело совершает поворот на угол
, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при
получим

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω> 0, а когда по ходу часовой стрелки, тоω< 0.

или, так как радиан – величина безразмерная,
.

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равени который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени
приращение угловой скорости равно
, то отношение
, т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время
.

При стремлении
получаем величину углового ускорения в моментt :

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже,
.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным , а если убывает, -замедленным. Когда величиныω иε имеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным.По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с, и противоположнопри замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω= const ), то вращение тела называетсяравномерным .

Из
имеем
. Отсюда, считая, что в начальный момент времени
угол
, и беря интегралы слева отдо, а справа от 0 доt , получим окончательно

При равномерном вращении, когда =0,
и
.

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость междуn об/мин иω 1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а приn оборотах на 2π n ; этот поворот делается за 1 мин, т.е.t = 1мин=60с. Из этого следует, что

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε= const ), то вращение называетсяравнопеременным .

В начальный момент времени t =0 угол
, а угловая скорость
(- начальная угловая скорость).
;
=ε
. Интегрируя левую часть отдо, а правую от 0 доt , найдем

Угловая скорость ω этого вращения
. Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будетравноускоренным , а если разные –равнозамедленным.

Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называ­ется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

Если А и В - неподвижные точки тела (рис. 15), то осью вращения является ось Oz, которая может иметь в пространстве любое направление, не обязательно вертикальное. Одно на­правление оси Oz принимается за положительное.

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость П о и подвижную П, скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугран­ным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом φ между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол φ называется углом поворота тела.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой

момент времени, если задано уравнение φ = f(t) (5)

где f(t) - любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра - угла φ .

Угол φ считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным - в противополож­ном направлении, если смотреть с положительного направления оси Oz. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т. е. dφ/dt = φ. Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной - при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают ω. Тогда ω= ׀dφ/dt ׀= ׀φ ׀ (6)

Размерность угловой скорости устанавливаем в соответствии с (6)

[ω] = угол/время = рад/с = с -1 .

Втехнике угловая скорость - это частота вращения, выражен­ная в оборотах в минуту. За 1 мин тело повернется на угол 2πп, если п - число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим: (7)

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота d 2 φ/dt 2 = ω . Модуль углового ускорения обозначим ε , тогда ε=|φ| (8)

Размерность углового ускорения получаем из (8):

[ε ] = угловая скорость/время = рад/с 2 = с -2

Если φ’’>0 при φ’>0 , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При φ’’<0 и φ’<0 тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если φ’’<0 при φ’>0 , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При φ’’>0 и φ’<0 , т.е. замедленное вращении совершается в отрицательную сторону. Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тел;

Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления для замедленного - их направления противоположны.

Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называют равномерным, если ω=const, φ= φ’t

Вращение будет равнопеременным, если ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t и

В общем случае, если φ’’ не постоянно,

Скорости и ускорения точек тела

Известно уравнение вращения твердого тела вокруг непо­движной оси φ= f(t) (рис.16). Расстояние s точки М в по­движной плоскости П по дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки М о, расположенной в неподвижной плоскости, выражается через угол φ зависимостью s=hφ , где h -радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точки М до оси враще­ния. Его иногда называют радиусом вращения точки. У каждой точки тела радиус вращения остается неизменным при враще­нии тела вокруг неподвижной оси.

Алгебраическую скорость точки М определяем по формуле v τ =s’=hφ Модуль скорости точки: v=hω (9)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональ­ны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорци­ональности является угловая ско­рость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, сле­довательно, перпендикулярны радиу­сам вращения. Скорости точек тела, расположен­ных на отрезке прямой ОМ, в соот­ветствии с (9) распределены по линей­ному закону. Они взаимно параллельны, и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения. Ускорение точки разлагаем на ка­сательную и нормальную составля­ющие, т. е. a=a τ +a nτ Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам (10)

так как для окружности радиус кривизны р=h (рис. 17). Таким образом,

Касательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения. Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При φ’>0 и φ’’>0 или φ’<0 и φ’<0 имеем ускоренное вращение тела и направле­ния векторов a τ и v совпадают. Если φ’ и φ’" имеют разные знаки (замедленное вращение), то a τ и v направлены проти­воположно друг другу.

Обозначив α угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

так как нормальное ускорение а п всегда положительно. Угол а для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если К - единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости ώ и углового ускорения ε определяют выражениями (12)

Так как k -постоянный по мо­дулю и направлению вектор, то из (12) следует, что

ε=dώ/dt (13)

При φ’>0 и φ’’>0 направления векторов ώ и ε совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Oz (Рис. 18.а)Если φ’>0 и φ’’<0 , то они направлены в противополож­ные стороны (рис.18.б). Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном. Векторы ώ и ε можно изображать в любых точках оси вращения. Они являются векторами скользящими. Это их свойство следует из векторных формул для скоростей и ускоре­ний точек тела.

Сложное движение точки

Основные понятия

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космичес­кого корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение корабля по реке относительно Земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти дви­жения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем O l x 1 y 1 z 1 (рис. 19) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета Oxyz будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxyz называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, назы­ваются относительными. Их обозначают индексом r; для скорости и ускорения v r , a r . Движение точки относительно основной или неподвижной системны системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1 называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами v, a без индексов.

Переносным движением точки называют движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вслед­ствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и уско­рение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обознача­ют v e , а е.

Если траектории всех точек тела S, скрепленного с подвиж­ной системой отсчета, изобразить на рисунке (рис. 20), то получим семейство линий - семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения. Точка М может совпадать только с одной точкой каждой из траекторий этого семейства переносных траекторий. В связи с этим иногда считают, что траекторий переносного движения нет, так как приходится считать траекториями переносного движения линии, у которых только одна точка фактически является точкой траектории.

В кинематике точки изучалось движение точки относительно какой-либо системы отсчета независимо от того, движется эта система отсчета относительно других систем или нет. Дополним это изучение рассмотрением сложного движения, в простейшем случае состоящего из относительного и перенос­ного. Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки, если известны скорости относительного и переносного движений этой точки. Пусть точка со­вершает только одно, относи­ тельное движение по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz и в момент времени t за­нимает на траектории относи­ тельного движения положение М (рис 20). В момент времени t+ t вследствие относительного Движения точка окажется в по­ложении М 1 , совершив пере­мещение ММ 1 по траектории относительного движения. Пред­положим, что точка участвует Oxyz и относительной траекторией она переместится по некоторой кривой на ММ 2. Если точка участвует одновременно и в относительном и в переносном движениях, то за время А; она переместится на ММ" по траектории абсолютного движения и в момент времени t+At займет положение М". Если время At мало и в дальнейшем переходят к пределу при At, стремящемся к нулю, то малые перемещения по кривым можно заменить отрезками хорд и принять их за векторы перемещений. Складывая векторные пе­ремещения, получаем

В этом отношении отброшены малые величины более высокого порядка, стремящиеся к нулю при At, стремящемся к нулю. Переходя к пределу, имеем (14)

Следовательно, (14) примет форму (15)

Получена так называемая теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки. Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то (15’)

Похожая информация.

Это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Положение тела задается двугранным углом (углом поворота).

 =  (t) - уравнение движения.

Кинематические характеристики те­ла:

- угловая скорость, с -1 ;

- угловое ускорение, с -2 .

Величины  и  можно представить в виде векторов
, расположенных на оси вращения, направление вектора таково, что с его конца враще­ние тела видно происходящим против часовой стрелки. Направление совпадает с , если >о.

Положение точки тела: M 0 M 1 = S = h.

Скорость точки
; при этом
.

откуда
;
;
.

Ускорение точки тела ,
‑ вращательное ускорение (в кинематике точки – касательное ‑):
- осестремительное ускорение (в кинематике точки - нор­мальное -).

Модули:
;
;

.

Равномерное и равнопеременное вращение

1. Равномерное:  = const,
;
;
- уравнение движения.

2. Равнопеременное:  = const,
;
;
;
;
- уравнение движения.

2). Механический привод состоит из шкива 1, ремня 2 и ступенчатых колес 3 и 4. Найти скорость рейки 5, а также ускорение точкиM в момент времени t 1 = 1с. Если угловая ско­рость шкива равна  1 = 0,2t , с -1 ; R 1 = 15; R 3 = 40; r 3 = 5; R 4 = 20; r 4 = 8 (в сантиметрах).

Скорость рейки

;

;
;
.

Откуда
;
;
, с -1 .

Из (1) и (2) получим , см.

Ускорение точки M .

, с -2 при t 1 = 1 с; a = 34,84 см/с 2 .

3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной пло­скости.

Все точки тела на любой прямой, перпендикулярной неподвижной пло­скости, движутся одинаково. Поэтому анализ плоского движения тела сво­дится к исследованию движения пло­ской фигуры (сечение S) в ее плоскости (xy).

Это движение можно представить как совокупность поступательного движения вместе с некоторой произвольно выбранной точкой а, называемой полюсом , и вращательного движе­ния вокруг полюса.

Уравнения движения плоской фигуры

x а = x a (t); у а = у а; j = j(t)

Кинематические характеристи­ ки плоской фигуры:

- скорость и ускорение по­люса; w, e - угловая скорость и угловое ускорение (не зависят от выбора полюса).

Уравнения движения любой точки плоской фигуры (B) можно получить, проектируя векторное равенство
на осиx и у

x 1 B , y 1 B - координаты точки в системе координат, свя­занной с фигурой.

Определение скоростей точек

1). Аналитический способ .

Зная уравнения движения x n = x n (t); y n = y n (t), находим
;
;
.

2). Теорема о распределении скоростей.

Дифференцируя равенство
, получим
,

- скорость точки B при вращении пло­ской фигуры вокруг полюса A;
;

Формула распределения скоро­стей точек плоской фигуры
.

Скорость точкиM колеса, катящегося без скольжения

;
.

3). Теорема о проекциях ско­ростей.

Проекции скоростей двух то­чек тела на ось, проходящую че­рез эти точки, равны. Проектируя равенство
на осьx, имеем

Пример

Определить скорость натекания воды v Н на руль корабля, если извест­ны (скорость центра тяжести суд­на),b и b K (углы дрейфа).

Решение: .

4). Мгновенный центр скоростей (МЦС).

Скорости точек при плоском движении тела можно определять по формулам вращательного движения, используя понятие МЦС.

МЦС - точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю (v p = 0).

В общем случае МЦС - точка пере­сечения перпендикуляров к направле­ниям скоростей двух точек фигуры.

Принимая точку P за полюс, имеем для произвольной точки

, тогда

Откуда
- угловая скорость фигуры и
,т.е. скорости точек плоской фигуры пропор­циональны их расстояниям до МЦС.

Случай б соответствует мгновенно поступательному распределению скоростей.

1). Для заданного положения механизма найтиv B , v C ,v D , w 1 , w 2 , w 3 , если в данный момент v A = 20 см/с; BC = CD = 40 см; OC = 25 см; R = 20 см.

Решение МЦС катка 1 - точка P 1:

с -1 ;
см/с.

МЦС звена 2 - точка P 2 пересечения перпендикуляров к на­правлениям скоростей точек B и C:

с -1 ;
см/с;
см/с;
с -1 .

2). Груз Q поднимается с помощью ступенчатого бара­бана 1, угловая скорость которого w 1 = 1 с -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 см; AE || BD. Найти скорость v C оси подвижного блока 2.

Находим скорости точек A и B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 см/с; v B = v D = w 1* r 1 = 5 см/с.

MЦС блока 2 - точка P. Тогда
, откуда
;
;
см/с.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (оси вращения) называется такое его движение, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Пусть осью вращения является ось , которая может иметь в пространстве любое направление. Одно направление оси принимается за положительное (рис. 28).

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано уравнение

где – любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении, если смотреть с положительного направления оси . Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т.е. . Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают . Тогда

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота . Модуль углового ускорения обозначим , тогда

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При и , тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если при , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При и замедленное вращение совершается в отрицательную сторону.